ATT (Average Treatment Effect on the Treated)

정의

ATT는 실제로 처치(treatment)를 받은 집단에 한정한 평균 처치효과(treatment effect)다.

$$\text{ATT} = E[Y(1) - Y(0) \mid W=1]$$

분해하면 다음과 같다.

$$\text{ATT} = E[Y(1) \mid W=1] - E[Y(0) \mid W=1]$$

• 첫째 항은 처치군의 관측 결과로, 직접 추정할 수 있다.
• 둘째 항은 처치군의 반사실(counterfactual) 결과로, 추정이 필요하다.

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직관적 이해

ATE vs ATT

Estimand	질문
ATE	”전체 인구에 처치를 적용하면 평균 효과는?”
ATT	”처치를 받은 사람들에게 처치가 효과적이었나?”

ATT가 적합한 상황

1. 정책 평가: 기존 프로그램 참여자에게 나타난 효과를 본다.
2. 비용 편익 분석: 실제 처치 대상에게 나타난 효과를 본다.
3. 자기선택(self-selection) 상황: 처치를 선택한 사람들에게 나타난 효과가 관심사다.

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ATE와 ATT의 관계

수학적 관계

$$\text{ATE} = P(W=1) \cdot \text{ATT} + P(W=0) \cdot \text{ATC}$$

여기서:

$$\text{ATC} = E[Y(1) - Y(0) \mid W=0]$$

ATE = ATT가 되는 조건

처치효과가 동질적(homogeneous)일 때다.

$$Y(1) - Y(0) = \tau \quad \text{(상수)}$$

이 경우 $\text{ATE} = \text{ATT} = \text{ATC} = \tau$가 된다.

ATE ≠ ATT인 경우

효과가 이질적이고 자기선택이 작동할 때 둘은 갈린다.

• 효과가 클 것으로 예상되는 사람이 처치를 선택한다.
• → $\text{ATT} > \text{ATC}$
• → $\text{ATT} > \text{ATE}$

예시: 직업 훈련 프로그램

• 동기가 높은 사람이 참여한다.
• 이들에게 효과도 더 크다.
• → ATT가 ATE보다 크다.

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식별(identification)

강한 무시가능성(strong ignorability)이 성립할 때

$$\text{ATT} = E_X\left[E[Y \mid W=1, X] - E[Y \mid W=0, X] \mid W=1\right]$$

IPW-ATT

$$\hat{\text{ATT}}_{IPW} = \frac{1}{n_1} \sum_{i: W_i=1} Y_i - \frac{1}{n_1} \sum_{i: W_i=0} \frac{e(X_i)}{1-e(X_i)} Y_i$$

여기서 $n_1 = \sum_i W_i$.

ATT를 위한 매칭(matching)

처치군의 각 개인을 유사한 대조군과 매칭한다.

1. 처치군 $i$와 유사한 대조군 $j$를 찾는다.
2. $\hat{\tau}_i = Y_i - Y_j$
3. $\hat{\text{ATT}} = \frac{1}{n_1} \sum_{i: W_i=1} \hat{\tau}_i$

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ATT 추정 방법

1. IPW for ATT

$$\hat{\text{ATT}} = \frac{\sum_{i} W_i Y_i}{\sum_i W_i} - \frac{\sum_i (1-W_i) \frac{e(X_i)}{1-e(X_i)} Y_i}{\sum_i (1-W_i) \frac{e(X_i)}{1-e(X_i)}}$$

2. 매칭

성향점수 매칭, 최근접 이웃 매칭 등이 있다.

3. ATT를 위한 이중 강건(doubly robust) 추정

$$\hat{\text{ATT}}_{DR} = \frac{1}{n_1}\sum_{i: W_i=1} \left[Y_i - \hat{\mu}_0(X_i) - \frac{(1-W_i)(Y_i - \hat{\mu}_0(X_i))}{1-e(X_i)} \cdot \frac{e(X_i)}{P(W=1)}\right]$$

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ATC와의 비교

Estimand	정의	해석
ATT	$E[Y(1)-Y(0) \mid W=1]$	처치 받은 이들에게 효과
ATC	$E[Y(1)-Y(0) \mid W=0]$	처치 안 받은 이들에게 (가상) 효과

ATT ≠ ATC인 이유

효과의 이질성(heterogeneity) 때문이다.

• 처치효과가 특성에 따라 달라진다.
• 처치 선택이 효과와 맞물려 있다.

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관련 개념

• Treatment Effects Overview - 처치 효과 통합 정리
• ATE - Average Treatment Effect
• CATE - Conditional ATE
• ITE - Individual Treatment Effect
• IPW - IPW for ATT
• Propensity Score Matching - ATT 추정에 자주 사용

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참고 논문

• yaoSurveyCausalInference2021 - Section 2.2
• Imbens, G. W. (2004). Nonparametric estimation of average treatment effects under exogeneity
• Heckman, J. J., et al. (1997). Matching as an econometric evaluation estimator