Back-door Criterion

정의

back-door 기준(back-door criterion, Pearl 1993)은 관찰 데이터(observational data)에서 인과효과(causal effect)를 식별(identification)할 수 있는지 판단하는 그래프 기준이다. 즉 변수 집합 $Z$ 가 $X \rightarrow Y$ 의 인과효과를 식별하기에 충분한지를 가려낸다.

형식적 정의:

변수 집합 $Z$ 가 $(X, Y)$ 에 대해 back-door 기준을 만족하려면 다음 두 조건을 모두 충족해야 한다.

$Z$ 의 어떤 변수도 $X$ 의 후손(descendant)이 아니다.
$Z$ 가 $X$ 와 $Y$ 를 잇는 모든 back-door 경로(path)를 차단한다.

back-door 경로

back-door 경로란 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 경로 중 $X$ 로 들어오는 화살표로 시작하는 경로를 말한다.

X ← ... → Y   (back-door path)
X → ... → Y   (front-door path, causal path)

예시:

    Z
   ↙ ↘
  X   Y

back-door 경로: $X \leftarrow Z \rightarrow Y$
이 경로를 따라 비인과적 연관(non-causal association)이 전달된다.

직관적 이해

핵심 아이디어:

Causal effect = Total association - Spurious association (via back-door)

Total association between X and Y:
  1. Causal path: X → ... → Y
  2. Back-door paths: X ← ... → Y (spurious)

Back-door criterion: 2를 차단하여 1만 남김

비유:

앞문(front-door): $X$ 가 $Y$ 에 영향을 주는 경로 (인과)
뒷문(back-door): $X$ 와 $Y$ 가 공통 원인으로 연결되는 경로 (비인과)
뒷문을 모두 닫으면 인과효과를 식별할 수 있다.

back-door 보정 공식

$Z$ 가 back-door 기준을 만족하면 다음이 성립한다.

$P(Y|do(X=x)) = \sum_z P(Y|X=x, Z=z) \cdot P(Z=z)$

또는 연속형:

$E[Y|do(X=x)] = \int E[Y|X=x, Z=z] \cdot p(z) \, dz$

의미:

$Z$ 로 조건부 평균을 낸 뒤 가중 평균하면 인과효과를 얻는다.
관찰 데이터만으로 개입 분포(interventional distribution)를 계산할 수 있다.

알고리즘: 보정 집합 찾기

1단계: 모든 back-door 경로 나열

$X$ 에서 시작해 $X$ 로 들어오는 화살표를 따라가며 $Y$ 에 도달하는 모든 경로를 적는다.

2단계: 경로별 차단 방법 결정

Fork ( $X \leftarrow Z \rightarrow Y$ ): $Z$ 를 조건부로 두면 차단된다.
Chain ( $\cdots \rightarrow Z \rightarrow \cdots$ ): $Z$ 를 조건부로 두면 차단된다.
Collider ( $\cdots \rightarrow Z \leftarrow \cdots$ ): $Z$ 를 조건부로 두지 않으면 차단된다(이미 차단된 상태).

3단계: 보정 집합 선택

모든 back-door 경로를 차단하는 변수 집합을 고른다.
단, $X$ 의 후손은 포함하지 않는다.

예시

예시 1: 단순 교란

    Z
   ↙ ↘
  X → Y

back-door 경로: $X \leftarrow Z \rightarrow Y$ 보정 집합: $\{Z\}$ 공식: $E[Y|do(X)] = \sum_z E[Y|X,Z=z] \cdot P(Z=z)$

예시 2: 다중 교란변수

  Z1    Z2
   ↘  ↙  ↘
    X  →  Y

back-door 경로:

$X \leftarrow Z1 \rightarrow Y$ ( $Z1 \rightarrow Y$ 직접 경로가 없다면 없음)
…

보정 집합: 상황에 따라 $\{Z1\}$ , $\{Z2\}$ , 또는 $\{Z1, Z2\}$

예시 3: back-door 경로 위의 collider

  Z1 → C ← Z2
   ↓       ↓
   X   →   Y

back-door 경로: $X \leftarrow Z1 \rightarrow C \leftarrow Z2 \rightarrow Y$

$C$ 가 collider이므로 경로가 이미 차단되어 있다.
보정 집합: $\emptyset$ (아무것도 통제하지 않아도 된다.)

주의: $C$ 를 통제하면 경로가 열려 편향(bias)이 생긴다.

예시 4: 매개변수

  Z
  ↓
  X → M → Y

인과 경로: $X \rightarrow M \rightarrow Y$ back-door 경로: 없음 ( $Z$ 는 $X$ 에만 영향을 줌)

back-door 경로가 없으므로 $\{Z\}$ 로 보정해도 되고 하지 않아도 된다.

주의: $M$ 을 보정하면 안 된다(인과 경로 자체를 차단한다).

충분 보정 집합과 최소 보정 집합

충분 보정 집합(sufficient adjustment set)

back-door 기준을 만족하는 모든 집합을 말한다.

최소 보정 집합(minimal adjustment set)

충분 보정 집합 중 가장 작은 집합이다.
불필요한 변수를 포함하지 않는다.

Trade-off:

변수가 많을수록 더 강건하다(누락된 교란(confounding)을 막는다).
변수가 적을수록 더 효율적이다(분산(variance)을 줄인다).

한계

DAG 정확성 의존: DAG가 틀리면 결론도 틀린다.
측정되지 않은 교란변수: 측정되지 않은 변수가 있으면 차단할 수 없다.
충분조건이되 필요조건은 아님: back-door 기준은 충분조건일 뿐 필요조건은 아니다.

참고 문헌

Pearl, J. (1993). Comment: Graphical models, causality and intervention
Pearl, J. (2009). Causality: Models, Reasoning, and Inference
rohrerThinkingClearlyCorrelations - back-door 기준 소개

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