Propensity Score Matching (PSM)

정의

성향점수 매칭(propensity score matching, PSM)은 성향점수(propensity score)가 비슷한 처치군과 대조군 개인을 짝지어 처치효과(treatment effect)를 추정하는 매칭(matching) 방법이다.

j(i) = \arg\min_{j: W_j=0} |e(X_i) - e(X_j)|

여기서 $e(X) = P(W=1 \mid X)$ 는 성향점수다.

직관적 이해

성향점수로 매칭하는 근거

Rosenbaum & Rubin (1983):

W \perp\!\!\!\perp X \mid e(X)

성향점수가 같으면 처치 확률이 같다.
따라서 고차원(high-dimensional) $X$ 대신 스칼라 $e(X)$ 만으로 매칭할 수 있다.
차원 축소: 차원의 저주(curse of dimensionality)를 완화한다.

예시

환자	나이	성별	병력	PS
A (처치)	45	M	고혈압	0.72
B (대조)	52	F	당뇨	0.70

$X$ 는 다르지만 $e(X)$ 가 비슷하므로 매칭할 수 있다.

절차

1단계: 성향점수 추정

\hat{e}(X_i) = P(W_i = 1 \mid X_i)

추정에 흔히 쓰는 방법은 다음과 같다.

Logistic regression (가장 일반적)
Random forest
Gradient boosting
Neural network

2단계: 매칭

각 처치군 개인마다 성향점수가 가장 비슷한 대조군을 찾는다.

For each treated unit i:
    Find control j* with |e(Xi) - e(Xj)| minimized
    Match (i, j*)

3단계: 효과 추정

\hat{\text{ATT}} = \frac{1}{n_1} \sum_{i: W_i=1} (Y_i - Y_{j(i)})

매칭 옵션

1. Caliper

매칭 허용 거리에 상한을 둔다.

|e(X_i) - e(X_j)| < c

일반적으로 $c = 0.2 \times \text{SD}(e(X))$ 로 둔다.

2. 1:k Matching

처치 1명당 대조 k명을 매칭한다.

k=1: 표준 설정이다.
k>1: 분산(variance)은 줄지만 편향(bias)이 커질 수 있다.

3. With/Without Replacement

옵션	장점	단점
With	좋은 매칭, 편향↓	분산↑, 일부 대조군 과다 사용
Without	분산↓, 공정	매칭 품질↓

장점과 한계

장점

장점	설명
차원 축소	고차원 X를 스칼라 성향점수로 요약한다
직관성	”처치 확률이 비슷한 개인끼리 비교”라는 해석이 명확하다
투명성	매칭된 쌍을 직접 검토할 수 있다
유연성	다양한 매칭 옵션을 적용할 수 있다

한계

한계	설명
성향점수 모델 의존	성향점수를 잘못 설정하면 편향이 생긴다
정보 손실	매칭되지 않은 표본을 제외한다
분산	IPW보다 효율이 낮을 수 있다
매칭 품질	나쁜 매칭이 만들어질 수 있다

품질 평가

균형 확인

매칭 후 두 군의 공변량(covariate) 분포가 얼마나 비슷한지 비교한다.

\text{SMD}_k = \frac{\bar{X}_{k,T} - \bar{X}_{k,C}}{\sqrt{(s^2_{k,T} + s^2_{k,C})/2}}

기준: $|\text{SMD}| < 0.1$ 이면 균형이 잡힌 것으로 본다.

시각화

import matplotlib.pyplot as plt

# 매칭 전후 PS 분포
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.hist(ps[W==1], alpha=0.5, label='Treated')
plt.hist(ps[W==0], alpha=0.5, label='Control')
plt.title('Before Matching')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.hist(ps_matched[W_matched==1], alpha=0.5, label='Treated')
plt.hist(ps_matched[W_matched==0], alpha=0.5, label='Control')
plt.title('After Matching')

구현

R (MatchIt)

library(MatchIt)

# PSM with 1:1 nearest neighbor
m.out <- matchit(treat ~ x1 + x2 + x3,
                 data = df,
                 method = "nearest",
                 distance = "logit",
                 caliper = 0.2)

# 균형 확인
summary(m.out)

# 매칭 데이터
matched_data <- match.data(m.out)

# ATT 추정
lm(y ~ treat, data = matched_data, weights = weights)

Python

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.neighbors import NearestNeighbors

# PS 추정
lr = LogisticRegression()
lr.fit(X, W)
ps = lr.predict_proba(X)[:, 1]

# 매칭
treated_idx = np.where(W == 1)[0]
control_idx = np.where(W == 0)[0]

nn = NearestNeighbors(n_neighbors=1)
nn.fit(ps[control_idx].reshape(-1, 1))
distances, matches = nn.kneighbors(ps[treated_idx].reshape(-1, 1))

# ATT 추정
att = np.mean(Y[treated_idx] - Y[control_idx[matches.flatten()]])

참고 논문

Rosenbaum, P. R., & Rubin, D. B. (1983). The central role of the propensity score
yaoSurveyCausalInference2021 - Section 3.3
Caliendo, M., & Kopeinig, S. (2008). Some practical guidance for PSM

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