Confounder · Tae Hyun Kim (Lowell)

Definition

Confounder는 **treatment (X)와 outcome (Y) 모두에 영향을 주는 변수 (common cause)**로, X와 Y 사이에 spurious (non-causal) association을 생성.

DAG 표현:

    Confounder (Z)
       ↙        ↘
  Treatment (X)   Outcome (Y)

수학적 정의: 변수 $Z$ 가 confounder일 조건:

$Z$ 가 $X$ 에 영향 (또는 $X$ 와 연관)
$Z$ 가 $Y$ 에 영향 (또는 $Y$ 와 연관)
$Z$ 가 $X$ 의 결과가 아님 (not on causal path)

Intuitive Understanding

핵심 아이디어:

Confounder는 “제3의 변수”로서, X와 Y가 직접적 인과관계 없이도 연관되어 보이게 만듦

예: 아이스크림 판매량(X)과 익사 사고(Y)의 상관관계

       여름 (Confounder)
          ↙        ↘
   아이스크림 판매    익사 사고

아이스크림이 익사를 유발하는 것이 아님
여름이라는 공통 원인이 둘 다에 영향
Spurious association: 인과가 아닌 상관

Back-door Path

Confounder는 back-door path를 생성:

X ← Z → Y

X에서 Y로 가는 “뒷문” 경로
이 경로를 통해 non-causal association 전달
차단 필요: Causal effect 식별을 위해

Confounding 조정 방법

1. Statistical Control

Stratification:

# Z의 각 level에서 X-Y 관계 분석
for z_level in Z.unique():
    subset = data[data['Z'] == z_level]
    analyze(subset['X'], subset['Y'])

Regression: $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 Z + \epsilon$

$\beta_1$ 은 Z를 control한 후의 X의 효과.

Propensity Score: $e(X) = P(X=1|Z)$

Propensity score로 matching 또는 weighting

2. Design-based Control

Randomization (RCT):

Treatment를 무작위 배정
Confounders가 treatment와 독립이 됨
Back-door path 자동 차단

Natural Experiments:

Instrumental Variables
Regression Discontinuity
Difference-in-Differences

3. Control by Design

Twin Studies:

Monozygotic twins: genes + family environment 공유
Within-pair analysis로 genetic confounding 제거

Adoption Studies:

Genetic link를 끊어 genetic confounding 제거

Measured vs Unmeasured Confounders

Measured Confounder

Data에서 관측 가능
Statistical control로 조정 가능
예: 나이, 성별, 교육수준

Unmeasured Confounder

Data에서 관측 불가 (또는 측정 안 됨)
Causal effect 식별 불가능
Sensitivity analysis로 영향 평가

       Unmeasured U
          ↙        ↘
         X          Y

U를 measure하지 않으면 X→Y effect biased

Confounding vs Collider vs Mediator

변수 유형	DAG 구조	Control 여부
Confounder	X ← Z → Y	Control 해야 함
Collider	X → Z ← Y	Control 하면 안 됨
Mediator	X → Z → Y	목적에 따라 다름

Rule of thumb: Post-treatment variable은 control하지 말 것

Examples

Example 1: Education and Income

      Intelligence
       ↙        ↘
  Education  →  Income

Confounder: Intelligence
Spurious path: Education ← Intelligence → Income
Solution: Intelligence를 control

Example 2: Smoking and Lung Cancer (Historical)

      Genetics?
       ↙        ↘
    Smoking   Lung Cancer

Fisher의 주장: Genetics가 confounder일 수 있음
후속 연구로 smoking의 causal effect 확립

Example 3: Maternal Affection and Child Depression

      Shared Genes
       ↙        ↘
  Maternal       Child
  Affection    Depression

Genetic confounding: 부모-자녀 간 유전자 공유
Solution: Adoption studies로 genetic link 제거

Measurement Error in Confounders

Confounder의 measurement error는 심각한 문제:

$Z^* = Z + \epsilon_Z$

$Z$ 를 정확히 측정하지 못하면 $Z^*$ 로 대체
Residual confounding: Z의 영향이 완전히 제거되지 않음
False positive rate: Large sample에서 100%에 근접 가능 (Westfall & Yarkoni, 2016)

DAG - Causal structure 시각화
Back-door Criterion - Confounding 조정 조건
Collider - Control하면 안 되는 변수
Mediator - Causal pathway 상의 변수
Propensity Score - Confounding 조정 방법
Unconfoundedness - No hidden confounders 가정

References

rohrerThinkingClearlyCorrelations - Confounding과 DAG
Pearl, J. (2009). Causality

연결 그래프