SCM (Structural Causal Model)

정의

SCM은 변수 사이의 인과 관계를 수학적으로 표현하는 틀(framework)이다. Pearl의 인과추론(causal inference) 체계에서 핵심을 이룬다.

형식적 정의:

$M = (V, U, F, P)$

Component	Meaning
$V$	Endogenous variables (관측 가능한 변수들)
$U$	Exogenous variables (관측 불가, $V \cap U = \emptyset$ )
$F$	Structural equations: $f_i: (V \cup U)^p \rightarrow V$
$P$	Distribution over exogenous: $P(U) = \prod_i P(U_i)$

구조방정식(structural equation): $X_i := f_i(Pa(X_i), U_i)$

각 변수는 부모 변수와 외생적 잡음(noise)으로 결정된다.

예시

Causal Graph G:           SCM M:
    X                     V = {X, Y, Z}
    ↓                     U = {U_X, U_Y, U_Z}
    Y
    ↓                     F = { X := U_X,
    Z                           Y := f(X) + U_Y,
                                Z := g(Y) + U_Z }

                          P = { U_X ~ N(0,1),
                                U_Y ~ N(0,1),
                                U_Z ~ N(0,1) }

결합분포(joint distribution) — 마르코프 분해(Markov factorization): $P(X, Y, Z) = P(X) \cdot P(Y|X) \cdot P(Z|Y)$

SCM과 DAG 비교

Aspect	DAG	SCM
표현	Qualitative (화살표 유무)	Quantitative (함수 형태)
정보량	인과 방향만	인과 방향 + 함수 관계
용도	Identification	Identification + Estimation
Intervention	개념적 표현	수학적 조작 가능

인과 간선 가정 (causal edge assumption)

각 변수의 값은 부모 변수로 완전히 결정된다. $X_i := f(Pa(X_i), U_i) \quad \forall X_i \in V$

의미:

인과 충분성(causal sufficiency): 모든 공통 원인이 관측된다.
이상적인 경우 측정되지 않은 교란변수(confounder)가 없다.

개입 (do-operator)

정의

$do(X = x)$ 는 변수 $X$ 를 값 $x$ 로 강제 설정한다는 뜻이다.

수학적 조작:

$X$ 의 구조방정식을 $X := x$ 로 대체한다.
나머지 방정식은 유지한다.

예시

Original SCM:

X := U_X
Y := 2X + U_Y
Z := Y + U_Z

After $do(X = 3)$ :

X := 3          ← Changed!
Y := 2X + U_Y   ← Uses X = 3
Z := Y + U_Z

개입 분포와 관측 분포

$P(Y | X = x) \neq P(Y | do(X = x))$

관측(observational): 관측된 조건부 분포로, 교란(confounding)을 포함한다.
개입(interventional): 인과적 개입으로, 교란을 제거한다.

인과효과 식별 (causal effect identification)

SCM에서 DAG로

SCM $M$ 에서 DAG $G$ 를 추출한다.

$V$ 의 각 변수가 노드(node)가 된다.
$Pa(X_i) \rightarrow X_i$ 가 간선(edge)이 된다.

do-계산법 (do-calculus)

Pearl의 세 가지 규칙으로 개입 분포(interventional distribution)를 관측 분포로 변환한다.

규칙 1 (관측의 삽입·삭제): $P(y|do(x), z, w) = P(y|do(x), w)$ 단, $(Y \perp Z | X, W)_{G_{\overline{X}}}$ 일 때 성립한다.

규칙 2 (개입과 관측의 교환): $P(y|do(x), do(z), w) = P(y|do(x), z, w)$ 단, $(Y \perp Z | X, W)_{G_{\overline{X}\underline{Z}}}$ 일 때 성립한다.

규칙 3 (개입의 삽입·삭제): $P(y|do(x), do(z), w) = P(y|do(x), w)$ 단, $(Y \perp Z | X, W)_{G_{\overline{X}\overline{Z(W)}}}$ 일 때 성립한다.

반사실 (counterfactual)

SCM에서는 반사실 추론(counterfactual reasoning)이 가능하다.

반사실 질의(counterfactual query): “만약 $X$ 가 $x'$ 였다면 $Y$ 는 무엇이 되었을까?”

$Y_{X=x'} = Y(M_{do(X=x')})$

3단계 절차:

귀추(abduction): 증거를 관측하고 $U$ 를 추론한다.
개입(action): $do(X=x')$ 로 SCM을 수정한다.
예측(prediction): 수정한 모형에서 $Y$ 를 계산한다.

선형 SCM (linear SCM)

선형 가우시안 SCM(linear Gaussian SCM): $X_i = \sum_{j \in Pa(i)} \beta_{ji} X_j + U_i, \quad U_i \sim N(0, \sigma_i^2)$

행렬 형태: $\mathbf{X} = B\mathbf{X} + \mathbf{U}$ $\mathbf{X} = (I - B)^{-1}\mathbf{U}$

특징:

닫힌 형태의 해(closed-form solution)가 존재한다.
LiNGAM: 비가우시안 잡음(non-Gaussian noise)으로 식별가능(identifiable)하다.

제약 기반(constraint-based) (PC, FCI): 조건부 독립성 검정
점수 기반(score-based) (GES, FGES): 점수 최적화
비대칭 기반(asymmetry-based) (LiNGAM): 분포의 비대칭성

식별가능성 (identifiability)

마르코프 동치(Markov equivalence): 같은 조건부 독립성 → 같은 Markov Equivalence Class
비가우시안(non-Gaussian): LiNGAM으로 유일한 DAG를 식별할 수 있다.

참고 문헌

Pearl, J. (2009). Causality: Models, Reasoning, and Inference
yaoSurveyCausalInference2021 - 인과 발견 맥락에서의 SCM

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