do-operator

정의

do-연산자(do-operator)는 개입(intervention)을 형식화하려고 Pearl이 제안한 연산자다.

$P(Y | do(X = x))$

이 식은 $X$를 값 $x$로 설정하는 개입 후의 $Y$ 분포를 나타낸다.

관측 조건화 $P(Y|X=x)$와는 다음과 같이 구별된다.

• $P(Y|X=x)$: $X=x$를 관측했을 때 $Y$의 분포
• $P(Y|do(X=x))$: $X=x$로 개입했을 때 $Y$의 분포

직관적 이해

“가격이 $50인 제품의 수요”와 “가격을 $50으로 설정했을 때의 수요”는 다르다.

전자는 가격이 $50인 이유(예: 고품질)와 수요가 함께 섞여 있지만, 후자는 품질과 무관하게 가격만 바꾼 효과다.

do-연산자는 이 차이를 수학적으로 포착한다.

핵심 성질

그래프적 해석

$do(X=x)$는 DAG에서 다음 두 가지를 수행한다.

1. $X$로 들어오는 모든 화살표를 제거한다.
2. $X$의 값을 $x$로 고정한다.

이것이 “외과적 개입(surgical intervention)“이다.

Pearl의 인과 계층

수준	질문 유형	예시
1. 연관	$P(Y	X)$
2. 개입	$P(Y	do(X))$
3. 반사실	$P(Y_x	X’, Y’)$

do-연산자는 2수준(개입)에 해당한다.

백도어(back-door) 조정 공식

Back-door Criterion을 만족하는 조정 집합 $Z$가 있으면 다음이 성립한다.

$P(Y | do(X = x)) = \sum_z P(Y | X = x, Z = z) P(Z = z)$

이로써 관측 데이터만으로 개입 효과를 추정할 수 있다.

프론트도어(front-door) 조정

백도어 조정이 불가능할 때는 다음 공식을 쓴다. $P(Y|do(X)) = \sum_m P(M=m|X) \sum_{x'} P(Y|M=m, X=x') P(X=x')$

예시

DoWhy 구현

import dowhy
from dowhy import CausalModel

model = CausalModel(
    data=data,
    treatment='price',
    outcome='demand',
    graph="""digraph {
        cost -> price;
        quality -> price; quality -> demand;
        price -> demand;
    }"""
)

# 개입 효과 식별
identified = model.identify_effect()
print(identified.get_backdoor_variables())  # ['quality']

# 추정
estimate = model.estimate_effect(
    identified,
    method_name="backdoor.linear_regression"
)
print(f"E[demand | do(price)] 의 기울기: {estimate.value:.3f}")

인과 효과와 조건부 기대값 비교

# 조건부 기대값 (관측)
E_Y_given_X = data[data['price'] == 50]['demand'].mean()

# 인과 효과 (개입) - 백도어 조정
adjusted = []
for quality_level in data['quality'].unique():
    subset = data[(data['price'] == 50) & (data['quality'] == quality_level)]
    weight = (data['quality'] == quality_level).mean()
    if len(subset) > 0:
        adjusted.append(subset['demand'].mean() * weight)
E_Y_do_X = sum(adjusted)

print(f"E[Y|X=50]: {E_Y_given_X:.2f}")
print(f"E[Y|do(X=50)]: {E_Y_do_X:.2f}")

관련 개념

• SCM - do-연산자의 이론적 기반
• Back-door Criterion - do 계산을 위한 조정 조건
• DAG - 인과 구조 표현
• Counterfactual Reasoning - 3수준(반사실) 쿼리
• Potential Outcomes - 대안적 인과 프레임워크
• Intervention Types - Perfect, Soft, Unknown interventions
• Interventional Discovery Overview - 개입을 활용한 causal discovery

참고 문헌

• Pearl, J. (2009). Causality: Models, Reasoning, and Inference.
• Pearl, J., Glymour, M., & Jewell, N. P. (2016). Causal Inference in Statistics: A Primer.
• Comprehensive Personalized Pricing Guide, Part IV, §11.2