Efficient Influence Function

정의

효율적 영향함수(EIF)는 (준)모수 모형의 regular asymptotically linear(RAL) 추정량(estimator)이 갖는 영향함수(influence function, IF) 가운데 분산(variance)이 가장 작은 것이다. 그 분산은 모든 parametric submodel의 Cramér-Rao bound의 상한인 semiparametric efficiency bound와 같다. EIF는 임의의 IF를 tangent space $\mathcal{T}$ 위로 사영한 것으로 정의된다.

평균 처치효과(ATE, $\psi=E[Y(1)-Y(0)]$)의 EIF는 무교란성(unconfoundedness)이 성립할 때 다음과 같다. $\phi(O)=\mu_1(X)-\mu_0(X)-\psi+\frac{A\,(Y-\mu_1(X))}{e(X)}-\frac{(1-A)(Y-\mu_0(X))}{1-e(X)},$ 즉 AIPW 추정량의 IF가 곧 ATE의 EIF다.

직관적 이해

EIF의 분산은 비모수 가정이 있을 때 도달할 수 있는 최선의 점근 정밀도를 나타낸다. EIF를 추정방정식으로 삼아 0으로 풀면, 효율적이면서 이중 강건(doubly robust)한 추정량을 얻는다.

관련 개념

• Influence Function · One-step Estimator · TMLE · AIPW
• Neyman-Orthogonal Score — EIF는 Neyman-직교
• Double Machine Learning · Cross-fitting

참고 논문

• Tsiatis, Semiparametric Theory and Missing Data, Springer 2006 — tangent space·AIPW 체계
• van der Vaart, Asymptotic Statistics, 1998, Ch.25 “Semiparametric Models”
• Bickel, Klaassen, Ritov & Wellner (BKRW), 1993 — 분야 정본
• Kennedy review, arXiv:2203.06469, 2022